Engenhos de Cerco

Um pouco de história

Os aparelhos ou máquinas de cerco são engenhos mais ou menos complexos (nem todos podem ser rotulados de “máquinas”) utilizados principalmente para atacar ou defender fortificações, como castelos e cidades fortificadas.
Há uma enorme de variedade de máquinas de cerco (tantas quanto o engenho humano se conseguiu lembrar), que vão das simples escadas e manteletes até aríetes, torres de assaltos e trabucos.
As catapultas, ballistas, trabucos e suas variações compõem a artilharia de cerco básica: são máquinas construídas para atirar projécteis de forma extrema: seja muito longe e/ou muito rápido e/ou coisas muito pesadas. Devido a sua tecnologia às vezes são referidos como artilharia neurobalística e barobalística (das palavras gregas para "tendão" e "peso").
Estas máquinas foram os reis e rainhas dos cenários de cerco, até ao aparecimento da chamada artilharia pirobalística (da palavra grega para 'fogo'): a partir da segunda metade do século XIV o canhão a pólvora começou a ser utilizado de forma prática.

 

Quatro Tipos de Tecnologia

 

Artilharia de Tensão

Este tipo de artilharia obtém a sua energia a partir da tensão de uma mola (seja de madeira, metal ou compósito). A origem de todas essas máquinas é a estrutura simples, conhecida como … um arco. O que um arco faz é "transformar" a força em energia elástica e, finalmente, em energia cinética. Apesar de complexo em sua física, são simples de fazer.
Assim a primeira artilharia de cerco era assim arcos enormes, tão fortes que nenhuns braços humanos os poderiam armar. Isso exigia um armador, uma estrutura de suporte e um mecanismo de largada. De um simples arco a uma catapulta de tensão foi um passo muito rápido mas importante, pois abriu caminho ao uso e desenvolvimento de artilharia.
Estas máquinas não só foram as primeiras, como estiveram presentes desde o seu início (na Grécia antiga), ao longo da Idade Média, até serem finalmente depostas pelo canhão.

 

 

Artilharia de Tracção e Contra-Peso

Estes tipos de máquinas obtém a sua energia a partir do um peso e / ou força muscular. O seu princípio de funcionamento é simples: o braço mais pequeno de uma alavanca é puxado para fornecer ao braço mais comprido (munido de uma funda) o ímpeto necessário para lançar a projéctil tão longe quanto do possível.
Na artilharia de tracção, o braço curto é puxado para baixo por pessoas usando os seus músculos e o seu peso. São simplesmente fundas gigantes e foram usados ao longo de toda a história devido à sua simplicidade e não devido à sua eficácia: podem atingir uma cadência de tiro elevada, mas tinham pouca precisão.

 

Na artilharia de contrapeso, como o nome indica, o braço mais curto da alavanca tem uma massa elevada, e é a força da gravidade que o puxa para baixo. O balanço fornece o ímpeto para o braço com a funda para atirar a sua carga mortífera contra uma muralha inocente. Embora use o mesmo princípio que a artilharia da tracção, o simples facto de aplicar sempre e constantemente a mesma quantidade exacta de força, significa que eram capazes de obter alguma precisão.
Os trabucos são máquinas de contrapeso e o expoente da artilharia barobalística. Os trabucos foram a artilharia mais poderosa e eficaz construída antes da pólvora finalmente tomar conta do campo de batalha. Estas máquinas podiam lançar pedras contra muralhas e paredes a centenas de metros de distância, e desintegrar as defesas de qualquer fortificação muito mais rapidamente que qualquer outra coisa.


No entanto, eram complexas e difíceis de construir (entre semanas a alguns meses) e perigosas de operar. E extremamente pesadas: para atirar um projéctil de 100 kg a uns “meros” 200 metros são necessários cerca de sete toneladas de contrapeso, o que não as torna exactamente manobráveis nem facilmente transportáveis.
Construir, transportar e utilizar estas máquinas enormes necessita dos recursos disponíveis apenas para alguns reis ou nobres.
A artilharia de contrapeso não era utilizada nas épocas grega nem romano. De facto, a sua origem reside algures no Oriente (provavelmente até mesmo na China) e só passou a ser amplamente utilizada na Europa Ocidental na Idade Média, no seguimento das primeiras Cruzadas.
Na literatura inglesa e francesa catapulta aparece sob o nome trebuchet. Há também uma grande variedade de nomes e máquinas que funcionam sob o mesmo princípio.

 

Artilharia de Torção

Esta artilharia obtém a sua energia da torção de rolos de corda, feitas de pêlos de animais (cavalo principalmente, mas também de humanos) ou de tendão, já que ambos apresentam excelentes propriedades elásticas.
Mais precisamente, estas máquinas usam as propriedades elásticas de uma mola em espiral para fornecer torque a um ou mais braços oscilantes, que por sua vez, irão impulsionar os projécteis. O seu princípio de funcionamento é simples: a força é armazenada num material elástico de forma lenta e progressiva para, depois de accionar o disparador ou gatilho, aplicar toda essa a força de forma imediata sobre um projéctil, fazendo-o atingir uma velocidade enorme num curso relativamente curto.
São exemplos de artilharia de torção, as balistas, catapultas, onagros e espringais. Apesar das máquinas que utilizaram esta tecnologia terem sobrevivido até ao dealbar da era da pólvora, a sua época de ouro foi a do mundo antigo dos gregos e romanos: o seu desenvolvimento pode ser identificado já século IV A.C.
As balistas ligeiras, do género que disparavam dardos (Scorpios) eram até utilizadas eficazmente como arma antipessoal no campo de batalha. Visto terem uma velocidade de saída do projéctil elevada, a sua trajectória de tiro tenso facilitava a pontaria. As fontes antigas atribuem a Scorpios romanos o tipo de precisão do tiro que hoje se associa ao moderno franco-atirador (sniper), sendo capazes de eliminar a grande distância membros chave do exército oposto.
Já as balistas pesadas, lançadoras de dardos de maiores dimensões e as disparadoras de pedras como as catapultas usam o mesmo princípio de torque, mas o seu alcance prático é obtido após de uma típica trajectória de curva parabólica e era m usados principalmente contra muros e fortificações e outros engenhos de cerco.

 


Todas as máquinas do Cerco 21’s são engenhos de Torção: assim importa saber mais sobre elas:

Ballistas - Scorpio

A palavra “balista” vem do grego ‘Ballistra’ (“algo que atira”) que designava originalmente uma máquina com dois braços, que funcionava pelo princípio da torção, e que servia para atirar projécteis "esféricos" (i.e. pedras). Essa configuração, enquanto ‘Lithobolos’ (literalmente “disparadora de pedras”) desapareceu no final do império romano para dar lugar ao mais simples Onager de um só braço (também de torção) que é o que hoje associamos à palavra "catapulta".
Por outro lado, a palavra “Catapulta” vem do grego 'Katapeltes' (“fura-escudos”) e designava uma máquina com dois braços baseada na balista que disparava projécteis tipo dardo ou flechas. Mais tarde, qualquer tipo de disparador de dardos ou flechas passou a ser chamado de balista (conheceu também vários outros nomes na Idade Média, p.e. “Tormenta”).
Então hoje em dia, identificamos como balista qualquer máquina com dois braços que dispare virotes, pelo que o princípio de operação é semelhante ao um arco gigante.
Como referido anteriormente, um Scorpio era apenas um nome romano para um disparador de virotes ligeiros (i.e. pequeno e portátil).
A tecnologia de duas molas de torção e dois braços é complexa, mas com a preparação e afinação certas é também fiável e precisa.

Catapulta - Onager

Esta máquina, usada exclusivamente para atirar pedras, apareceu nos finais do Império Romano. Há quem diga que a sua simplicidade tecnológica já indica o declínio da civilização romana, mas talvez simplesmente algum General tenha apreciado as vantagens de algo que é robusto, mais barato de construir e mais simples de utilizar que um Lithobolos.
Para os romanos era conhecido como Onager (“burro selvagem”, por causa do coice ou do som) portanto pode ser chamado de ónagro, sendo também conhecido como Mangonel.
É máquina que hoje em dia mais facilmente se identifica com o conceito de catapulta.

 

Tecnicamente é uma “meia-balista”, tendo uma única mola de corda torcida e um único braço, que após armado e disparado atinge uma trave acolchoada. Há duas possíveis variantes da configuração do braço: ou com uma funda, que é muito mais eficiente e permite fazer tiro tenso e era desta forma que era utilizado na antiguidade clássica; ou com uma “colher” ou “cesto” que apenas deixa fazer tiro em elevação, ideal para atirar por cima e para muros e ameias, que era a forma mais utilizada na época medieval.

 

A Matemática por trás disto tudo

A beleza da artilharia de torção é que além de serem uma lição completa de história, abrangendo quase dois mil anos e extremamente bem documentado arqueológica e bibliograficamente é também ser um verdadeiro repasto em termos de engenharia, física, matemática e geometria. E sim, nós gostamos disso.

O nível de engenharia da antiguidade clássica é absolutamente espantoso. Desenvolveu-se a tecnologia de torção e após alguns anos o mundo helénico já tinha determinado empiricamente (por tentativa e erro) as proporções óptimas desses engenhos que asseguravam o desempenho mais eficiente.
Essas regras proporcionais eram tão boas, que os seus sucessores, os romanos, apenas fizeram pequenas alterações.
Descobriram qual a melhor relação entre os diâmetros e altura dos cilindros (formados pelos molhos de corda de tendão) e qual o tamanho óptimo desses cilindros para atirar um projéctil de determinado tamanho. E finalmente demonstraram que todas as dimensões de uma determinada máquina são uma função do diâmetro dos cilindros de corda torcida.
Assim obtiveram duas fórmulas de calibração para artilharia de torção com dois braços: todas as proporções são baseados no “D”, isto é o diâmetro dos cilindros referidos acima, que é uma função do comprimento do dardo ou do peso da bola de pedra a lançar. O “D” vai condicionar o tamanho de todas as peças da máquina.

Para as máquinas de atirar virotes, era uma relação simples entre o comprimento desejado para o projéctil (L) e o diâmetro (D) do cilindro de corda:

 

 

Por exemplo, as pranchas de madeira superiores e inferiores onde assentam as flanges (chamadas de stanchions) deveriam ter um cumprimento de 6,5 x D, e os braços de arco deveriam ser de 7 x D.
O Scorpio do Cerco21, por exemplo, tem um D de 90 mm, pelo que é desenhado para disparar virotes de 810 mm e os seus stanchions têm 585 mm de comprimento.

No entanto para atirar pedras a fórmula era mais complicada: tendo “M” como o peso desejado do projéctil, o diâmetro “D” é obtido aplicando uma raiz cúbica:

 

Sendo D e M, em unidades gregas: ‘dactyls’, (aprox. 19 mm) e ‘minas’ (aprox. 440 g).

É claro que os cientistas (chamemos-lhe assim) reconheceram que a força da máquina era uma função do volume do molho de corda de tendão, mas não tomaram atalhos ou fizeram aproximações. E note-se que é muito fácil, mesmo hoje em dia, ajustar dados de uma equação de terceiro grau a uma curva de segundo grau se os dados forem maus ou o investigador pouco cuidadoso. Para se obter resultados tão precisos os investigadores gregos devem ter efectuado experiências e medições cuidadosas.
E lembrem-se que a álgebra como a conhecemos hoje ainda não existia. É impressionante o facto de terem insistido na fórmula numa altura em que a matemática grega ainda não lidava bem com equações de terceiro grau: os cálculos eram feitos com vários métodos baseados em geometria, práticos de executar, desenvolvidos para o efeito.

 

A fisica Newtoniana tambem nos ajuda hoje em dia. Tal como demonstrado pela investigação das ultimas decadas, um conjunto de cordas de torção podem ser aproximadas a um cilindro do mesmo material. As propriedades elásticas mantêm-se, e de facto a nossa experiencia empirica demonstra isso mesmo, que a força da mola só depende do diâmetro exterior.

Num sistema fechado e assumindo que não temos forças não conservativas. Temos que o trabalho é constante logo podemos equivaler Energia Potencial a Energia Cinética.

. - Energia Potencial Gravitica


 - Energia Potencial Elástica


 - Energia Cinética


 - Força Elástica (da lei de Hooke)


F = Força do Sistema (i.e. uma balista de 300kg necessita de 2940N para ser armada)

x = distância percorrida pela corda da posição armada/disparada ou pelo contrapeso da sua altura máxima até à altura minima.

k = Constante Elástica - Caracteristica do material.

M = Massa do Contrapeso

m = Massa do Projéctil

g = 9,8m/s2 - Aceleração da Gravidade

v = Velocidade de Saida do Projéctil

e = Quoeficiente de Eficiência (empirico)

Assim para um engenho de Torsão teremos:


- Esta será a velocidade de saída do projéctil. Dependente apenas das variaveis de construção.

Enquanto que para um engenho de contrapeso teremos:

  

- Esta será a velocidade de saida do projectil, novamente dependente das variaveis de construção. Esta velocidade será no entanto incrementada pela relação do comprimento dos braços. Ou seja o braço mais curto do contrapeso irá propulsionar com maior velociade o braço maior do projectil. I.E. se o coeficiente entre os braços for 5, a velocidade será tambem 5 vezes superior. Para a mesma velocidade angular teremos necessáriamente diferentes velocidades tangenciais. Assim:

Ao armar as máquinas de cerco o que estamos a fazer é um "transformação de energia". Estamos a fornecer ao sistema energia potencial que ele irá transformar em energia cinética.

Para artilharia de Tracção e Contrapeso teremos Força->Energia Potencial Gravitica->Energia Cinética.

Enquanto que para artilharia de Torção temos Força->Energia Potencial Elástica->Energia Cinética.

Para os vários tipos de engenho temos no fundo uma simples transformação de força em velocidade. Podemos ir fornecendo ao sistema força ao longo de um periodo alargado de tempo, para ser libertado rápidamente, o mais rapidamente que o material permita.

No final a nossa velocidade V=ev (o nosso e é determinado empiricamente para cada arma e ficamos com uma ideia da eficiencia e das percas em forças não conservativas).

Após determinar a velocidade de saída podemos passar às equações balisticas.

Equações Balisticas (ou "Até onde vai e com que força atinge?")

Das equações acima podemos calcular a nossa velocidade de saída, que é factor apenas das variavies de construção (tamanho geral e tamanho da "mola" tensora) Utilizando os dados da nossa Balista Medieval calculámos uma velocidade de saída de 132 m/s no entanto testes de campo, nomeadamente fotografia de alta velocidade, mostram que a velocidade de saida ronda na realidade os 120 m/s.

Mas para que é que isto tudo serve?

As equações balisticas dizem-nos o alcance de um projéctil com base no ângulo e velocidade de saída. Em termos muito simples podemos decompor o movimento de um projéctil nos seus movimentos horizontais e verticais. (e desprezamos ventos laterais que trariam movimento no 3º eixo)

Asssim as equações decompostas em função do tempo (t):

onde:

Para calcular a força de arrasto:

De onde tirarmos a aceleração de arrasto:

Tanto a aceleração gravítica como a aceleração de arrasto "opoem-se" ao movimento e como tal são termos negativos nas equações de movimento.

As nossas variáveis de construção:

-Coeficiente de Arrasto 0,35 para Virotes e 0,47 para projecteis esféricos.

- Area da secção transversal dos Virotes.

- Densidade do ar

Depois utilizámos o excel para escrever um sistema discreto muito simples. Daí desenhamos estes gráficos extraordinários e inovadores (nem por isso, mas pode ser que consigamos enganar os bots da google):

Saida com ângulo de 5º:

Das equações de movimento podemos tambem extrair a energia de impacto do projéctil. Calulamos a velocidade imediatamente antes do impacto e daí a Energia Cinética de um dos nossos virotes.

Um virote normal dos nossos tem 1213 J a 60 m.

Comparativamente uma bala Magnum .357 tem uma energia de impacto de 782 J a 60 m.

Para chegar a uma energia de impacto semelhante os nossos virotes precisam de viajar 250m!!!!